微积分Part 1

P.S. 作者只是个初三的蒟蒻，本系列仅讲对 OI/高中数学有用的。

这玩意是个大头，分几块来讲吧。

0.函数极限

定义

当 $x \to a$ 但 $x \neq a$ 时，函数 $f(x)$ 会趋于一个值 $A$ ，这个值就叫函数的极限，记作 $\lim _ {x \to a} f(x) = A$ 。

然而我们不能这么随意的定义一个数学概念，所以我们得用 $\epsilon-\delta$ 语言来定义。

定义如下：

\forall \epsilon \gt 0,\exist \delta \gt 0, \forall x: 0 \lt |x - a| \lt \epsilon ,|f(x) - A| \lt \delta

这 b 玩意好烦啊，就是 $x \to x _ 0$ 时，能找到正数 $\epsilon,\delta$ ，使得 $0 \lt |x - x _ 0| \lt \epsilon$ 时， $0 \lt |f(x) - A| \lt \delta$ 。

要注意区分函数的取值和极限，比如函数 $f(x) = \begin{cases} x,x \neq 0 114 ,x=0 \end{cases}$ ， $f(0) = 114$ ，但 $\lim _ {x \to 0} f(x) = 0$ ，因为极限有个含义，是无限接近但不相等。

运算法则 & 性质

运算法则

设 $@$ 为 $\infty,a \in \R,0,0 ^ +,0 ^ -$ 中任意一个，

\lim _ {x \to @} f(x) + \lim _ {x \to @} g(x) = \lim _ {x \to @} (f(x) + g(x)) \lim _ {x \to @} f(x) \times \lim _ {x \to @} g(x) = \lim _ {x \to @} (f(x) \times g(x)) (\lim _ {x \to @} f(x)) ^ {\lim _ {x \to @} g(x)} = \lim _ {x \to @} (f(x)) ^ {g(x)} \text{（前提是等式左边有意义）}

注：这里包括了逆运算，极限乘法的逆运算存在，当且仅当 $\lim _ {x \to @} g(x) \neq 0$

性质

若 $f(x) \le g(x) \le h(x)$ ，且 $\lim _ {x \to x _ 0} f(x) = \lim _ {x \to x _ 0} h(x) = A$ ，则有 $\lim _ {x \to x _ 0} = A$
极限若存在则唯一
若 $\lim _ {x \to x _ 0} f(x)$ 存在，则 $sgn \lim _ {x \to x _ 0} f(x) = sgn f(x _ 1),x _ 1 \in (x _ 0 - \delta,x _ 0) \cup (x _ 0,x _ 0 + \delta),\delta \gt 0$

《高等数学》上极限太散了，我把它汇总一下吧。

注：以下可能需要其他知识。

求法

一般可以看出来，但是有的 byd 题会让你证明，这个时候就得用 $\epsilon-\delta$ 语言来证明。

可以设一个 $\epsilon$ ，然后再找出一个符合定义的 $\delta$ ，然后就可求证了。

洛必达法则

结论：若 $f(x),g(x)$ 均在定义域上连续，则有 $\lim _ {x \to @} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim _ {x \to @} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

并且，这个东西只要满足定义，就可以洛！

1.函数的连续性 & 函数的导数

函数连续有个描述性定义，能一笔把函数图像画出来。

其实描述性定义就够了，间断点这玩意我觉得没啥用。

所以直接进入正题

导数

定义 $\lim _ {\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ 为 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。

某点导数存在的充要条件是其左右极限存在且相等。

我们可以发现， $f(x)$ 的所有导数也满足函数关系，所以我们可以把 $f(x)$ 的所有导数组成一个函数，叫做 $f(x)$ 的导函数，简称导数（注意和上面的导数区分，这个是个函数，上面的是个数），记作 $\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x},f'(x),\frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x)$

类似的，我们可以再对导函数求导，称为 $f(x)$ 的二阶导，记作 $f''(x),\frac{\text{d} ^ 2}{\text{d}x ^ 2}f(x)$ ，然后满足定义就可以再导，记为 $f ^ {(n)}(x),\frac{\text{d} ^ n}{\text{d}x ^ n} f(x)$

函数的一阶导反映了函数的单调性：

f(x)\text{单调递增} \leftrightarrow f'(x) \gt 0 f(x)\text{单调递减} \leftrightarrow f'(x) \lt 0

函数的二阶导反映了函数的凹凸性：

f(x)\text{上凸式增长} \leftrightarrow f'(x)\text{单调递增} \leftrightarrow f''(x) \gt 0\\ f(x)\text{下凸式增长} \leftrightarrow f'(x)\text{单调递减} \leftrightarrow f''(x) \lt 0

几何意义： $f'(x)$ 表示 $f(x)$ 的图像上 $(x,f(x))$ 处的切线斜率。

运算法则

(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g ^ 2 (x)}

导数乘除法可简记为 前导后不导，后导前不导

高阶导数的求法： $(uv) ^ {(n)} = \sum _ {i = 0} ^ n C _ n ^ i u ^ {n - i} v ^ i$

导数表

~~我认为导数的核心就是背~~

(C)' = 0\ \ (x ^ a)' = ax ^ {a - 1}(a \in \Z) (a ^ x)' = a ^ x \ln a \to (e ^ x)' = e ^ x (\log _ a x)' = \frac{1}{x \ln a} \to (\ln x)' = \frac{1}{x} (\sin x)' = \cos x\ \ (\cos x)' = -\sin x (\tan x)' = \sec ^ 2 x = \frac{1}{\cos ^ 2 x} \ \ (\cot x)' = -\csc ^ 2x = -\frac{1}{\sin ^ 2 x}

高中数学差不多就这些了，高等数学等大学了再说。

多元函数的导数

以二元函数举例。

定义函数 $f(x,y)$ 在 $(x,y,f(x,y))$ 处对 $x$ 的偏导数为 $\lim _ {\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$ ，记为 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},f _ x(x,y)$ 。

同理，对 $y$ 的偏导数可以定义为 $\lim _ {\Delta y \to 0} \frac{f(x,y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}$ ，记为 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y},f _ y (x,y)$ 。

2.函数的极值

一元函数的极值

注意，这里是极值，不是最值。

由上面导数的几何意义得，当 $f'(x) = 0$ 时，函数在该点是个峰值，是个极大/极小值。

那么怎么判断这是极大值还是极小值呢？可以用二阶导来判断。

当 $f'(x) = 0,f''(x) \lt 0$ 时， $f'(x)$ 在区间上单调递增，也就是在图像的最低点上，是个极小值。

当 $f'(x) = 0,f''(x) \gt 0$ 时， $f'(x)$ 在区间上单调递减，在图像的最高点上，是极大值。

多元函数的极值

这个东西只有个必要条件，没有充分条件：极值点各偏导数值为 $0$ 。

条件极值—拉格朗日乘数法

这种问题可以抽象为 $f(x,y)$ 在满足条件 $\phi(x,y) = 0$ 下的极值。

直接给出解法：

\begin{cases} f _ x + \lambda\phi _ x(x,y) = 0 f _ y + \lambda\phi _ y(x,y) = 0 \end{cases}

解出来就好了。这种方法就非常暴力。

当然高中的题可以用各种不等式来解，但我懒得想怎么构造不等式，所以就直接导了。

然后高一会让你证明函数单调性，如果你导数学的好可以一眼看出结论，然后再慢慢证。

并且 OI 中某些求极值的二分题可以用二分+求导做出来，高精度开根需要牛顿迭代，也需要求导。

多项式中需要这些知识，并且有的题需要数值方法来做，要牵扯到这个。

Thanks for reading!

微积分Part 1

2024 12月 05 周四

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